1 引言
逻辑不逻辑,回归非回归。
回想当年初次学习逻辑回归算法时,看到”逻辑回归“这个名字,第一感觉是这是一个与线性回归类似的回归类别的算法,只不过这个算法突出”逻辑“,或者与某个以”逻辑“命名的知识点有关。可后来却发现,这是一个坑死人不偿命的名字——逻辑回归算法不是回归算法,是分类算法,也与逻辑无关,要说有关也仅是因为它的英文名字是Loginstics,音译为逻辑而已(所以也有资料称之为逻辑斯蒂回归)。
2 逻辑回归原理
2.1 从线性回归到逻辑回归
在上一篇博文中,我们详细说过回归算法与分类算法的区别。逻辑回归既然是分类算法,为什么不叫逻辑分类而是逻辑回归呢?在我看来,这是因为逻辑回归用回归的思路去解决分类的问题。
假设有如下图所示的一个数据集,使用线性回归算法,我们可以找到大致如黑线的一个线性模型对其进行拟合。对于回归算法,需要做的是对数据集中每一个${ {x}_{i}}$,都能通过模型找到一个${ {y}_{i}}$(预测值)与之对应。
获得了预测值${ {y}_{i}}$,我们就可以做很多事情了,例如:分类。我们可以对${ {y}_{i}}$进行分段,例如,在${ {y}}$轴上取一值$M$,当${ {y}_{i}}<M$时,我们将其标记到类0中,当${ {y}_{i}}>M$时,我们将其标记到另一类1中,如下图所示:
这就实现了以回归的思路来实现分类。
但逻辑回归可不止在线性回归的基础上做这些事情。在上一篇介绍线性回归的博文的末尾,我们提到,线性回归有一个很致命的缺陷——对异常值很敏感,如果数据集中出现异常值,拟合出来的线性模型也将出现很大变化,预测出来的结果也将不在那么准确,从而到导致分类错误。如下图所示,数据集中出现一个异常点(绿点),那么拟合出来的模型就可能从原来的黑线变为绿线,此时,当数据集中有某一点$x\in ({ {x}_{1}},{ {x}_{2}})$时,该点就回被误判,例如图中橙色点,在原本黑线模型中,该点预测出来的${ {y}}$值大于$M$,被标记到1类中,但在绿线模型中,其${ {y}}$值就小于$M$,就回被误标记到0类中。
逻辑回归算法对线性回归对异常数据敏感的不足进行了优化改进。怎么改进呢?最直观的方法就是将直线“掰弯”。“掰弯”之后,就算出现异常数据,模型主体部分也不会出现太多改变,从而解决线性回归模型对异常值敏感的问题,如下图所示:
而我们所用的“掰弯”方法就是用sigmod函数与线性函数进行复合。
2.2 sigmod函数
sigmoid函数也叫Logistic函数,函数表达式如下:
其中,$e$为自然对数,是一个常数,值约为$2.71828$。
函数图像如下:
从函数图像可以看出, sigmoid函数可以很好地将$(-\infty ,+\infty )$内的数映射到$(0,1)$ 上,于是我们可以将$g(z)\ge 0.5$时我们可以将该条数据标记为1类, $g(z)<0.5$时标记为0类。即:
\[y=\left\{ _{0,\text{ }g(x)<0.5}^{1,\text{ }g(x)\ge 0.5} \right.\]
其中$y$表示分类结果。
通常,在逻辑回归算法应用中,模型可不会如同上面的sigmoid函数那么简单,而是sigmoid函数与线性函数的组合:
\[g(x)=\frac{1}{1+{ {e}^{-z}}}\]
其中,$z$就是线性回归中的预测值,即:
所以有:
\[h(x)=\frac{1}{1+{ {e}^{-({ {\theta }_{0}}+{ {\theta }_{1}}{ {x}_{1}}+{ {\theta }_{2}}{ {x}_{2}}+\cdots +{ {\theta }_{n}}{ {x}_{n}})}}}\]
用矩阵方式表示:
\[h(x)=g(z)=g({ {\theta }^{T}}x)=\frac{1}{1+{ {e}^{-{ {\theta }^{T}}x}}}\]
其中,$\theta =\left[ \begin{matrix} { {\theta }_{0}} \\ { {\theta }_{1}} \\ \vdots \\ { {\theta }_{n}} \\\end{matrix} \right]$,$x=\left[ \begin{matrix} { {x}_{0}} \\ { {x}_{1}} \\ \vdots \\ { {x}_{n}} \\\end{matrix} \right]$
3 损失函数
下一步我们要做的就是如何求取最佳拟合模型的问题了。在线性回归算法中,我们使用误差平方和或者均方误差来作为损失函数,但是在逻辑回归中,这个方法不再使用,因为已被证明,在逻辑回归模型中使用误差平方和作为损失函数的话,会存在在许多局部最小值点,在求解参数的过程中很容易陷入局部最小值点,而无法求得真正的最小值点。
上面说过,$h(x)\in (0,1)$,这一点的性质刚好与概率$p\in [0,1]$的性质吻合(当做概率使用的理由不止这点),故而我们可以将其当做$h(x)$值当做数据被标记为1类的概率,即:
\[p(y=1|x;\theta )=h(x)\]
\[p(y=0|x;\theta )=1-h(x)\]
当给定$y$为1时,即属于1类时,$h(x)$越趋近于1,被预测为1类的概率就越大,损失(误差)就越小;反之,当给定$y$为0时,即属于0类时,$h(x)$越趋近于1,被预测为0类的概率就越小,损失(误差)就越大,于是,我们可以定义损失函数:
\[\cos t(h(x),y)=\left\{ _{-\log (1-h(x)),\text{ }y=0}^{-\log (h(x)),\text{ }y=1} \right.\]
对所有数据集中$x$损失累加然后求平均,有:
\[J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{\cos (h(x),y)}\]
由于$y$的取值为0或1,结合上面两个公式可以得到:
\[J(\theta )=-\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({ {y}_{i}}\log (h({ {x}_{i}}))+(1-{ {y}_{i}})\log (1-h({ {x}_{i}})))}\]
这个函数就是我们逻辑回归的损失函数,我们把它称为交叉熵损失函数。
接下来就是针对的优化问题,也就是求得最小值,在这位里推导过程写得很详细,我自愧不如,就不献丑了。
4 代码实现
import torchfrom torch import nnfrom torch.autograd import Variableimport matplotlib.pyplot as pltimport numpy as np # 假数据n_data = torch.ones(100, 2) # 数据的基本形态x0 = torch.normal(2*n_data, 1) # 类型0 x data (tensor), shape=(100, 2)y0 = torch.zeros(100) # 类型0 y data (tensor), shape=(100, 1)x1 = torch.normal(-2*n_data, 1) # 类型1 x data (tensor), shape=(100, 1)y1 = torch.ones(100) # 类型1 y data (tensor), shape=(100, 1) # 注意 x, y 数据的数据形式是一定要像下面一样 (torch.cat 是在合并数据)x = torch.cat((x0, x1), 0).type(torch.FloatTensor) # FloatTensor = 32-bit floatingy = torch.cat((y0, y1), 0).type(torch.FloatTensor) # LongTensor = 64-bit integer # 画图# plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn')# plt.show() class LogisticRegression(nn.Module): def __init__(self): super(LogisticRegression, self).__init__() self.lr = nn.Linear(2, 1) self.sm = nn.Sigmoid() def forward(self, x): x = self.lr(x) x = self.sm(x) return x logistic_model = LogisticRegression()if torch.cuda.is_available(): logistic_model.cuda() # 定义损失函数和优化器criterion = nn.BCELoss()optimizer = torch.optim.SGD(logistic_model.parameters(), lr=1e-3, momentum=0.9) # 开始训练for epoch in range(10000): if torch.cuda.is_available(): x_data = Variable(x).cuda() y_data = Variable(y).cuda() else: x_data = Variable(x) y_data = Variable(y) out = logistic_model(x_data) loss = criterion(out, y_data) print_loss = loss.data.item() mask = out.ge(0.5).float() # 以0.5为阈值进行分类 correct = (mask == y_data).sum() # 计算正确预测的样本个数 acc = correct.item() / x_data.size(0) # 计算精度 optimizer.zero_grad() loss.backward() optimizer.step() # 每隔20轮打印一下当前的误差和精度 if (epoch + 1) % 20 == 0: print('*'*10) print('epoch {}'.format(epoch+1)) # 训练轮数 print('loss is {:.4f}'.format(print_loss)) # 误差 print('acc is {:.4f}'.format(acc)) # 精度 # 结果可视化w0, w1 = logistic_model.lr.weight[0]w0 = float(w0.item())w1 = float(w1.item())b = float(logistic_model.lr.bias.item())plot_x = np.arange(-7, 7, 0.1)plot_y = (-w0 * plot_x - b) / w1plt.scatter(x.data.numpy()[:, 0], x.data.numpy()[:, 1], c=y.data.numpy(), s=100, lw=0, cmap='RdYlGn')plt.plot(plot_x, plot_y)plt.show()
4 总结
总结一下逻辑回归的优缺点:
优点:
1)预测结果是介于0和1之间的概率;
2)可以适用于连续性和类别性自变量;
3)容易使用和解释。
缺点:
1)对模型中自变量多重共线性较为敏感,例如两个高度相关自变量同时放入模型,可能导致较弱的一个自变量回归符号不符合预期,符号被扭转。需要利用因子分析或者变量聚类分析等手段来选择代表性的自变量,以减少候选变量之间的相关性;
2)预测结果呈“S”型,因此从log(odds)向概率转化的过程是非线性的,在两端随着log(odds)值的变化,概率变化很小,边际值太小,slope太小,而中间概率的变化很大,很敏感。 导致很多区间的变量变化对目标概率的影响没有区分度,无法确定阀值。
参考: